피타고라스의 정리 III : 등각사각형의 관점에서
Pythagorean Theorem III : From the perspective of equiangular quadrilaterals
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초록
피타고라스의 정리는 직각삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 관한 명제이다. 유클리드 기하에서 성립하는 피타고라스의 정리는 비-유클리드 기하에서 흥미로운 형태로 변형됨이 잘 알려져 있다. 이 논문에서는 직각삼각형을 반각삼각형이라는 개념으로 비-유클리드 기하에 확장하면 피타고라스의 정리가 그대로 성립함을 살펴본다. 이는 직사각형이 등각사각형이고, 직각삼각형이 직사각형의 반이라는 관점에서 바라본 것으로, Paolo Maraner의 정의대로 등각사각형의 반에 해당하는 삼각형을 반각삼각형이라 하면, 놀랍게도 이러한 삼각형의 세 변의 길이가 쌍곡기하와 구면기하를 포함하는 많은 기하에서 피타고라스의 정리를 만족시킨다.
Abstract
Pythagorean theorem is a proposition on the relationship between the lengths of three sides of a right triangle. It is well known that Pythagorean theorem for Euclidean geometry deforms into an interesting form in non-Euclidean geometry. In this paper, we investigate a new perspective that replaces right triangles with `proper triangles' so that Pythagorean theorem extends to non-Euclidean geometries without any modification. This is seen from the perspective that a rectangle is an equiangular quadrilateral, and a right triangle is a half of a rectangle. Surprisingly, a proper triangle (defined by Paolo Maraner), which is a half of an equiangular quadrilateral, satisfies Pythagorean theorem in many geometries, including hyperbolic geometry and spherical geometry.
참고문헌 (7)
- Robin Hartshorne, "Geometry: Euclid and beyond, Undergraduate Texts in Mathematics" (2000), Springer-Verlag
- D. Hilbert, "The Foundations of Geometry" (1971), The open court publishing company
- 조경희, "피타고라스의 정리 I: 비-힐베르트 기하에서", 한국수학사학회지, 31(6), pp.315~337 (2018), 한국수학사학회[DOI]
- 조경희, "피타고라스의 정리 II : 평행공리와의 관계", 한국수학사학회지, 32(5), pp.241~255 (2019), 한국수학사학회[DOI]
- R. Kaya, "Taxicab versions of some Euclidean theorems", Int. J. Pure Appl. Math, 26(1), pp.69~81 (2006)
- Paolo Maraner, "A spherical pythagorean theorem", The Mathematical Intelligencer, 32, pp.46~50 (2010)
- W. Pejas, "Die Modelle des Hilbertschen Axiomensystems der absoluten Geometrie", Math. Annalen, 143, pp.212~235 (1961)