원시 피타고라스 쌍의 패턴 연구
A Research on the Patterns of the Primitive Pythagorean Triples
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초록
본 연구는 고등학교 학생들을 대상으로 수행한 R&E의 결과를 바탕으로 이루어졌으며, 본 연구에서 학생들은 추론으로 추상적인 개념을 추출하는 귀납적 사고과정을 통하여 원시 피타고라스 쌍에 존재하는 다양한 패턴을 발견하고 이를 증명하였다. 양의 정수 a, b, c가 직각 삼각형의 변의 길이로 나타날 때, a²+b²=c²를피타고라스 쌍(Pythagorean triple)이라 한다. 즉, 피타고라스 정리에 의해 a²+b²=c²는 a²+b²=c²을 만족하는정수이다. 이 때, a²+b²=c²의 최대공약수가 1일 때, a²+b²=c²를 원시 피타고라스 쌍(primitive Pythagorean triple)이라 한다. 이러한 원시 피타고라스 쌍은 무한히 많이 존재하며, 매우 흥미로운 패턴들을 가지고 있다. 이에 본 논문에서는 이러한 다양한 패턴을 발견하고, 그러한 패턴이 나타나는 이유를 밝혔다.
Abstract
This research is based on the result of R&E which has been studied with high school students. In this research, they discovered a variety of patterns presented in the primitive Pythagorean triples through the inductive thinking process of extracting the abstract concept by the inference. When the integers a²+b²=c² are appeared as the lengths of the sides of a right triangle, a²+b²=c² is called a Pythagorean triple. That is, a²+b²=c² are positive integers satisfying a²+b²=c² by the Pythagorean theorem. Moreover, the greatest common divisor of a²+b²=c² is equal to 1, a²+b²=c² is called a primitive Pythagorean triple. There are infinitely many primitive Pythagorean triples, and they have many interesting patterns. In this paper, we find a variety of patterns, and prove why such patterns appear.
참고문헌 (4)
- Burton, D.M., "Elementary Number Theory" (2007), McGraw-Hill
- Bruins, E. M., "On Plimpton 322, Pythagorean numbers in Babylonian mathematics", Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings, 52, pp.629~632 (1949)
- "Pythagorean triples" (2015)[URL]
- Silverman, J. H., "A Friendly introduction to number theory" (2006), Pearson Prentice Hall