상위권 고등학생들의 수학적 정당화와 반증의 유형에 대한 사례연구
A Case Study Regarding High-ranking Highschool Students` Mathematical Justification and Disproof
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초록
본 연구는 상위권 고등학생들이 추측의 참, 거짓을 확인하고 다른 사람을 확신시키는 과정에서 나타나는 수학적 정당화와 반증을 분석하였다. 우선, 추측에 대한 정당화와 관련해서 한 학생에게 서 다양한 정당화 유형을 볼 수 있었으나, 경험적 정당화 수준에 머물러 있다고 보이는 학생은 없었고 모두 연역적 정당화를 하였다. 정당화에 실패한 경우에는, 학생이 정의를 확실하게 알지 못했기 때문으로 판단되는 경우가 있었다. 둘째, 학생들에게서 다양한 반증의 형태를 볼 수 있었고, 이것을 4가지로 범주화할 수 있었다. 학생들은 반례가 반증의 방법임은 지각하나 구체적 사례에 의한 반례를 제시하는 방법은 선호하지 않았다. 학생들은 일반화된 표현을 선호하거나, 하나의 사례에 의한 반례는 그 가치가 낮다고 생각하기 때문에, 구체적 사례를 제시하는 반례에 의한 반증은 지양하려는 태도를 보였다. 연구 결과를 바탕으로 교수학적 시사점을 얻을 수 있었다. 첫째, 상위권 학생들이 정당화에 실패하는 이유는 그들의 정당화 수준 때문이라기보다는 올바른 개념이나 정의를 갖고 있지 못하기 때문인 경우도 있으므로 증명 혹은 정당화 방법을 지도하는 것과 더불어 수학적 개념이나 정의를 바르게 지도하는 것이 필요하다. 둘째, 상위권만을 대상으로 하였음에도 학생들의 증명 쓰기 수준이 높지 않음을 추측해 볼 수 있었다. 교수 과정에서 학생들에게 증명의 기회를 많이 접하게 하고 증명 쓰기에 익숙해지기 위한 증명 연습을 늘려야 할 것으로 생각된다.
Abstract
This study aims to achieve pedagological implications by analysing mathematical justification and disproof of high-ranking highschool students when they confirm a presumption as being true or false and convince others of their opinion. The following conclusions were drawn from the current study. First, each student used various types of justification, and none of them remained at the empirical justification level. Some of them failed to justify their tasks because they did not know the definition of the concept which was being used in the task. Second, there were various types of disproofs, and these types could be categorized into four sub-types. Most students perceived that counterexamples were one of the disproof measures, but they avoided presenting concrete counterexamples because they either tried to use general terms, or judged concrete counterexamples as having a low value.
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