조합문제 사이의 구조적 동형

조합론에서 다루는 문제들은 일반적인 공식만을 사용해서 문제를 해결할 수는 없다(Dossey,1991). 왜냐하면 조합 문제의 진술은 여러 가지로 변형될 수 있으므로 다양한 문제 상황에서도 구조를 정확히 파악할 수 있어야 하기 때문이다. 학생들은 문제 구조를 보지 못한 체 각각의 문제들을 다르게 해결하려고 함으로써 실패를 경험하게 된다. 이러한 경험들의 원인은 학생들이 문제의 요소 사이의 일대일 대응에 의한 추론 과정인 유추를 적용하는 것을 실패하였기 때문에 더 자주 일어나게 된다(English & Halford, 1995). 따라서 조합 문제를 잘 해결하기 위해서는 복잡한 진술 속에서 문제의 큰 구조를 보고 핵심 요소가 무엇이며 기존에 알고 있는 유사한 상황과 이 요소들이 어떻게 대응될 수 있는지를 알아보는 과정이 무엇보다 중요하다. 본 연구에서는 문제의 진술은 다르지만 문제 구조는 동형인 문제 상황이 주어질 때 학생들이 어떻게 대응을 찾아내는지 그 과정을 분석하였다. 그 결과 선택 유형 사이의 대응을 찾는 과정이 배치 유형 사이의 대응을 찾는 과정보다 쉬웠음을 확인할 수 있었다. 그리고 문제를 해결하기 위해 배치 유형의 진술을 선택 유형의 진술로 바꾸는 경향이 있었는데 대응을 찾을 수 있는 정도는 학생들마다 달랐다. 대응을 한 번에 잘 찾는 경우가 있는 반면에 한 번에 찾을 수는 없었지만 다른 문제의 도움으로 대응을 찾은 경우가 있었다. 반면에 대응을 잘 찾지 못한 학생들이 있었고 이러한 학생들이 문제 해결에 어떤 문제점이 있는지 그 원인을 분석하여 몇 가지 시도 및 제안을 하였다. 첫 번째 시도는 문제의 지엽적인 조건에 초점을 맞추는 시각에서 전체적인 구조를 명확하게 인식할 수 있도록 지도하였다. 두 번째 시도는 학생들이 이미 구조를 알고 있는 기준 문제를 제시하여 그 문제와 일대일 대응을 줄 수 있도록 지도해 보았다. 하지만 학생들에게 각각의 배치 유형을 바로 선택 유형으로 진술을 바꾸도록 하는 것에는 한계가 있었다. 무엇보다 학생들은 문제에서 주어진 진술을 바꾸려고 하지 않는 경향이 있었다. 그러나 학생들은 진술이 비슷한 문제 사이에는 대응을 잘 찾을 수 있으므로 다양한 조합 문제들에 모두 대응될 수 있는 하나의 구심점 문제를 사용하는 지도를 생각하게 되었다. 구심점의 문제로는 공과 상자 문제를 제시하였고 공과 상자라는 문제 요소와 조합 문제의 요소 사이의 일대일 대응을 줄 수 있도록 지도하는 방법을 제안하였다. 학생들은 문제 사이의 대응을 찾는 활동을 통해 기존에 가지고 있던 조합론의 기본 개념을 강화시킬 수 있었고 또한 잘못 학습된 개념들을 수정할 수 있었다. 그리고 유사한 해결 방법을 갖고 있는 문제들 사이의 관련성을 인식할 수 있으며, 또한 새로운 문제를 해결하는데 이러한 활동이 도움이 될 수 있음을 살펴볼 수 있었다.본 연구 외에도 앞으로는 다양한 조합 문제를 하나의 구심점 문제로 대응시키는 활동이 문제 해결에 어떤 도움을 줄 것인지에 대한 체계적인 연구가 수행되어야 할 것이다. 그리고 조합 문제의 구조적 동형을 이해하는 것이 학생들의 조합 문제 해결력의 신장에 어떤 영향을 줄 것인지에 대한 더 깊은 연구도 필요할 것이다.