Euclid 원론과 Clairaut 원론의 비교를 통한 기하 교육에서 논리와 직관의 고찰
Revisiting Logic and Intuition in Teaching Geometry: Comparing Euclid's Elements and Clairaut's Elements
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초록
논리와 직관은 기하 교육에서 고려해야 할 양면성으로, 어떠한 기하 교육 방법도 논리와 직관을 양극단으로 하는 연속선 상의 한 지점에 위치할 것이 기대된다. 본 연구의 목적은 양자를 대표하는 Euclid 원론과 그에 대한 역사발생적 관점에서의 대안인 Clairaut 원론을 택하여 기하 교육을 위한 논리적 접근과 직관적 접근의 특성을 파악하고 교수학적 시사점을 도출하는 것이다. 이를 위해 각각의 책의 구성 및 내용 비교를 통해 Euclid 원론 중 Clairaut가 선택한 명제가 어떤 것인지, 동일 명제라도 정의, 증명, 작도에서 접근 방식에 어떤 차이가 있는지, Clairaut가 사용한 독특한 접근법이 무엇인지 비교 분석하였다. Clairaut는 주로 Euclid 원론의 1, 3, 6, 11, 12권으로부터 명제를 선택하여 추상적이고 형식적인 명제의 갑작스런 출현이 아니라 왜 그러한 아이디어가 필요했는지를 보이는 맥락을 제공하고, 명제의 정당화 과정을 학습자의 수준에서 생략하거나 변형하였다. 이는 개념적 이해를 강조하고 다양한 수준의 정당화를 지향하는 오늘날 기하 교육 경향에 맞추어 다양한 직관적 전략을 제안한다. 특히 Clairaut 원론에서 보여준 닮음의 일반 원리 지도나 무한 기하학적 접근과 같이, 직관에 기초한 기하 지도는 반드시 인지적 요구도가 낮은 쉬운 내용만을 대상으로 하는 것이 아니라 필수적인 기하 내용을 학습자가 이해할 수 있는 방식으로 가르치는 것이므로 구체적인 방법에 대한 논의가 요구됨을 확인시켜준다.
Abstract
Logic and intuition are considered as the opposite extremes of teaching geometry, and any teaching method of geometry is to be placed between these extremes. The purpose of this study is to identify the characteristics of logical and intuitive approaches for teaching geometry and to derive didactical implications by taking Euclid's Elements and Clairaut's Elements respectively representing the extremes. To this end, comparing the composition and contents of each book, we analyze which propositions Clairaut chose from Euclid's Elements, how their approaches differ in definitions, proofs, and geometrical constructions, and what unique approaches Clairaut took. The results reveal that Clairaut mainly chose propositions from Euclid's books 1, 3, 6, 11, and 12 to provide the contexts that show why such ideas were needed, rather than the sudden appearance of abstract and formal propositions, and omitted or modified the process of justification according to learners' levels. These propose a variety of intuitive strategies in line with trends of teaching geometry towards emphasis on conceptual understanding and different levels of justification. Specifically, such as the general principle of similarity and the infinite geometric approach shown in Clairaut's Elements, we could confirm that intuition-based geometry does not necessarily aim for tasks with low cognitive demand, but must be taught in a way that learners can understand.
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