졸트 공리의 역사적 고찰
A historical study of de Zolt's axiom
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초록
졸트 공리는 ``전체는 부분보다 크다"라는 유클리드의 5번째 일반 공준을 평면기하의 '용량'에 대하여 적용한 명제로 모든 힐베르트 기하에서 참이다. 이 논문에서는 유클리드의 일반 공준에서 시작된 졸트 공리의 역사적 발달 과정을 살펴보고, 졸트 공리가 성립하지 않는 평면기하의 예를 소개한다. 이 기하에서는 면적이 잘 정의되지 않으며, 임의의 정사각형은 자신과 분해합동인 더 작은 정사각형을 부분집합으로 포함함을 보인다. 이로부터 동일한 밑변을 갖지만 높이가 다르면서 서로 분해합동인 두 직사각형이 존재하고, 공집합과 동일용량을 갖는 직사각형이 존재함을 보인다.
Abstract
De Zolt's axiom which is a precise formulation of Euclid's Common Notion 5, `` the whole is greater than the part", for the notion of `content' holds in any Hilbert plane. In this article, we study the history of de Zolt's axiom which has its origin in Euclid's Common Notions, and introduce an example of a plane geometry in which de Zolt's axiom does not hold. We show that there is no area function in this geometry and every square is equidecomposable with a square which is properly contained in the first one. From this we also show that there are two equidecomposable rectangles which have the same base and do not have the same altitude, and there is a rectangle which is equicomplementable with an emptyset.
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