정수론적 방법에 의한 √2의 무리수성 증명에 내재된 실수의 완비성 공리

의 무리수성에 대한 여러 증명들은 수학자들이 그들 자신 및 당대의 학문적 배경을 토대로 고안해 낸 것이므로 각 증명에 내재된 수학적 원리나 구조가 상이할 수 있다. 그러나 수 체계라는 하나의 관점에서 보면 이들 증명들은 모두 완비성 공리를 포함한 실수의 구조로부터 비롯된 것임을 이상의 논의를 통해 알 수 있다. 수 체계라는 하나의 관점으로부터 의 무리수성에 대한 여러 증명들을 분석하고 그 속에 내재된 수학적 원리 즉, 정수론적 방법에 의한 증명들 속에 내재되어 있으나 명시적으로 드러나 있지 않은 실수의 완비성 공리를 탐색한다는 측면에서 본 논고는 그 자체로서 의미를 지닐 수 있다. 또한 전문성을 갖춘 수학 교사의 교과 지식의 구조와 원리 분석 및 통찰의 필요성이라는 측면에서 수학교육에의 시사점을 발견할 수 있을 것이다. 이상의 논의에 덧붙여 의 무리수성 논의라는 측면에서 다음 두 가지를 제언한다. 의 무리수성 증명은 일종의 불가능성 증명으로서 간접 증명의 형태를 취하고 있다. 불가능성 증명은 사회과학이나 다른 자연과학과 구분되는 수학적 추론의 가장 두드러진 측면들 중 하나이다. 수학에서 어떤 것이 불가능하다는 것은 그 어떤 시대, 어떤 사람에 의해서도 그것이 불가능함을 의미한다. 수학에서 가능성이나 존재성에 대한 증명은 그것이 실제로 가능하거나 존재함을 구성을 통해서 보일 수 있지만 불가능성이나 비존재성에 대한 증명은 그 대상이 유한한 대상인 경우를 제외하고는 간접증명의 방법을 통하지 않고서는 불가능하다. 의 무리수성 증명은 학생들이 학교 수학에서 접할 수 있는 간접 증명법에 의한 불가능성 증명의 전형적인 한 예가 될 수 있을 것이다. 한편, 의 무리수성 논의는 정사각형의 한 변과 대각선의 관계에 대한 논의인 동시에 정사각형의 한 변과 넓이가 두 배인 정사각형의 한 변의 관계에 대한 논의로 볼 수 있다. 이들 두 관점 모두 의 무리수성 논의라는 측면에서는 구분되지 않지만, 두 관점의 구분으로부터 간단한 유추와 일반화를 통해 더욱 풍부한 논의들이 전개될 수 있다. 예를 들어 전자의 관점으로부터 정오각형, 정육각형, …, 정각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이 관계에 대한 논의가 가능하고, 후자의 관점으로부터는 주어진 정사각형의 한 변과 넓이가 배인 정사각형의 한 변, 주어진 정육면체의 한 변과 부피가 2배인 정육면체의 한 변, 주어진 정육면체의 한 변과 부피가 배인 정육면체의 한 변 등에 대한 논의가 가능할 것이며, 나아가 과 의 범위 확장에 따른 의 무리수성에 관한 논의 역시 가능할 것이다. 이러한 측면에서 수학에 대한 흥미와 재능을 가진 학생과 이들을 지도하는 교사는 의 무리수성에 관한 명제 및 증명들로부터 수학적 창조와 발견의 가장 초보적인 단계라고 할 수 있는 유추와 일반화를 통해 새로운 명제를 추측하고 정당화하는 탐구 수업을 설계할 수 있을 것이다.