정사각수의 합표현의 가짓수 연구
How Many Expressions in the Sum of Two Squares are There?
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초록
페르마(Fermat)는 어떤 소수 p가 두 정사각수의 합으로 표현될 필요충분조건은 p=2이거나 p=1(mod 4)임을 보였다. 본 연구에서는 소수가 두 정사각수의 합으로 표현될 때, 순서를 무시하면 그 표현은 유일하다는것을 증명하였다. 또한 법 4로 1과 합동인 서로 다른 두 소수의 곱으로 표현되는 양의 정수를 두 정사각수의 합으로 표현할 때, 그 가짓수는 2가 됨을 보였다. 이것을 확장하여 법 4로 1과 합동인 서로 다른 r개의 소수들의 곱으로 표현되는 양의 정수를 두 정사각수의 합으로 표현할 때, 그 가짓수가 2r-1이 됨을 증명하였다.
Abstract
Fermat prove that a prime number is expressed as a sum of two squares if and only if or (mod 4). In this paper, we prove that if a prime number can be expressed as a sum of two squares then this representation is uniquely determined, apart from the order in which the squares occur, and there are two representations of sums of two squares for a product of two distinct primes which are equivalent to 1 modulo 4. In general, we prove that there are representations of sums of two squares for a product of-- distinct primes which are equivalent to modulo 4.
참고문헌 (2)
- Burton, D. M., "Elementary Number Theory" (2007), McGraw-Hill
- Silverman, J. H., "A Friendly introduction to number theory" (2006), Pearson Prentice Hall