수학적 증명의 조망 가능성-비트겐슈타인의 수학철학을 중심으로
The mathematical proof surveyability-With priority given to Wittgenstein's philosophy of mathematics-
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초록
이 논문의 주된 목적은 비트겐슈타인의 수학철학을 중심으로 수학적 증명의 문제를 다루는 데 있어서 핵심적 역할을 하는 ‘조망가능성’ 개념을 해명함과 동시에 그것이 후기의 철학에서 어떤 식으로 연관되는지를 논의하는 데 있다. 비트겐슈타인의 수학철학을 특징짓는 주된 요인들 중 하나인 반-플라톤주의는 외연주의에 대한 거부와 밀접한 관련이 있다. 무한에 대한 비트겐슈타인의 논점은 우리의 인식적 능력의 한계에 있는 것이 아니라 ‘무한’ 개념의 논리적 문법을 철저하게 탐구하는 데 있다. 수학적 증명의 조망가능성에 대한 문제는 러셀의 논리주의 비판에로 연결되며, 동어반복적 변형으로부터 산수식을 증명할 수 있다는 러셀 식의 증명 방식은 조망가능하지 않다. 창조적 개념형성을 강조하는 비트겐슈타인의 증명에 대한 관점은 증명의 유형을 구성하는 것을 옹호한다. 비트겐슈타인을 엄격한 유한주의로 해석하는 더밋의 논증은 무한이 법칙의 속성이지 외연의 속성이 아니라는 비트겐슈타인의 생각을 제대로 반영하지 못하다는 점에서 설득력이 없다. 증명의 조망가능성 개념을 철학에로 확장시킨 후기 비트겐슈타인의 철학적 관점은 수학의 다채성 개념이 철학에도 적용되고 있음을 보이는 결정적 단서가 된다. 결론적으로 비트겐슈타인이 증명을 조망가능성과 연결시킨 것은 증명에 대한 그의 독특한 사고방식의 전환, 즉 봄의 방식을 일깨우기 위한 생각에서 비롯된 것이다.
Abstract
This paper is focused on the following aspects: With priority given to Wittgenstein's philosophy of mathematics, the concept of mathematical proof' surveyability is elucidated and it will be discussed how it is connected with his later philosophy. In order to this study, above all it will be needed that the problem of anti-Platonism and grammar is deeply investigated. According to Wittgenstein, logical inferring is just not the same sort of things as ‘wff's proof.’ Futhermore, he maintains that in order to function at all within a proof the symbols in logic and mathematics must have some meaning outside the axiomatic system. However, Wittgenstein insists that mathematics doesn't need any foundation. Because mathematical proof is above all human institutions, it must be able to convince us of what it is supposed to prove. Therefore mathematical proof must be surveyable. With respect to this, Dummett's suggestion which Wittgenstein is in the position of a full-blooded finitism is wrong. Finally, I will argue that the concept of surveyability is more extended in his later philosophy. In so doing, I will show that the concept of motley in mathematics is also applied in philosophy. Consequently, Wittgenstein's surveyability is closely related to the new way of seeing.
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