프레게에 있어 수의 존재론적 의미
The ontological thought of Frege’s Number
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초록
논리주의자들은 모든 수학적 대상을 구성해 가는 과정은 본질적으로 논리적 절차이며, 그러한 절차를 거슬러 올라갈 때, 궁극적으로 논리적으로 가장 단순한 대상에 도달한다고 주장한다. 그들에 의하면 모든 순수수학은 몇 개의 논리적인 개념들을 통하여 정의될 수 있는 개념들만을 다루고 있으며, 순수수학의 모든 명제는 몇 개의 논리적인 원리들로부터 연역될 수 있다고 한다. 이러한 의미에서 수학적인 대상은 논리적 구성물이다. 논리주의자들의 주장이 사실일 경우, 수학적인 대상과 명제는 논리적인 대상과 명제가 갖는 성격을 그대로 지닐 수밖에 없을 것이다. 본 논문은 논리주의와 대립되는 관점을 보여주었던 심리학주의, 직관주의, 형식주의를 먼저 검토한 후, 프레게(Gottlob Frege, 1848~1925)의 주요 저서인 『산수의 기초』(the Foundations of Arithmetic, 1974)를 중심으로 논리주의적 견지에서 수 개념이 객관적 대상이며, 산수적 진술은 분석적이며, 산수는 공허한 기호조작이 아님을 밝히고자 한다.
Abstract
Logicist may start that by analysing our ordinary mathematical notions they proceeds to greater and greater abstractness and logical simplicity. They can reach terms that really are simple, and therefore logically incapable of the sort of definition that consists in analysing. Now the logicist thesis may be divided into two parts: (1) All primitive concepts of mathematics can be defined from purely logical concepts; (2) All theorems of mathematics can be proved form logical axioms by use only of purely logical principles. In fact, it can be shown that Peano’s five axioms are derived by interpreting three primitive terms to denote the logical objects defined by Frege and applying to them the logical laws. The second part explains another reason why Frege so adhered to the logicist program; it was epistemological. Since all statements of logic are self-evident, analytic and a priori, he thought, if all the basic laws of arithmetic are proved to be derivable from them, arithmetical truths will turn out to be analytic and a priori as they are.
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