무한 개념의 진화 : Bolzano를 중심으로
Bolzano and the Evolution of the Concept of Infinity
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초록
무한(infinity)의 개념은 다른 과학적 개념들과 마찬가지로 진화의 역사를 지닌 개념이다. 우리는 여기에서 볼짜노(Bolzano)를 중심으로 논의를 전개하고자 하는데, 그는 형이상학적 관점에서가 아니라 수학적으로 실무한(actual infinity)을 수용한 최초의 인물로 여겨지기 때문이다. 볼짜노는 현대의 플라톤주의자들처럼 구성(construction)과정과는 무관하게 무한집합(infinite set)을 그 자체로 옹호하였는데, 이는 내포(comprehension)의 원리와 모든 개념에 대한 외연의 유일성(unicity)에 근거한다. 또한 그는 무한집합과 그 부분 사이에 1:1 대응(one-to-one correspondence)이 성립한다는 사실을 역설로 보지 않고 무한집합의 특징으로 인식했다. 그리스 시대에는 단 하나의 무한의 존재만 인정한 데 반해 그는 여러 종류의 무한의 존재를 인정했으며, 무한에 대한 논리적 정의를 수립하였다. 무한의 문제는 수학에서 점증하는 중요성을 지닌 구성적 방법(constructive method)의 시금석이 된다. 여기에서는 이에 대한 운을 떼는 것으로 그치고 본격적인 연구는 차후의 과제로 남겨두겠다.
Abstract
The concept of infinity, as with other scientific concepts, has a history of evolution. In the present work we intend to discuss the subject matter with regard to Bolzano since he is considered to be the first to accept the idea of actual infinity not just from a metaphysical perspective but from a mathematical one. Like modern platonists, Bolzano defended the infinite set itself regardless of the construction process; this is based on the principal of comprehension and unicity of denotation regarding all concepts. In addition, instead of considering as paradoxical the fact that a one-to-one correspondence existed between an infinite set and its parts, he regarded it in a positive way as a special characteristic. While the Greek era recognized the existence of only one infinity, Bolzano acknowledged the existence of various types of infinity and formulated a logical definition for it. The question of infinity is a touchstone of constructive method which holds an increasingly important role in mathematics. The present study stops with just a brief reference to the subject matter and we will leave further in-depth investigation for later.
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