극한과 무한집합의 상호작용과 그 교육적 시사점에 대한 역사적 연구
A Historical Study on the Interaction of the Limit-the Infinite Set and Its Educational Implications
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초록
이 연구는 수학교사교육에서 극한과 무한집합을 개념적으로 연결시키지 못하고 있다는 문제의식으로부터 출발한다. 이에, 이 연구에서는 극한과 무한집합이 서로 영향을 주면서 발전했던 과정에 대해 분석하고, 이 분석결과를 바탕으로 하여 이 개념들의 관계에 대한 교육을 개선하는 방안에 대해 논의한다. 이 연구의 결과는 무한집합이 극한과 실수 사이를 연결시키는 역사적 도구라는 것을 확인시켜준다. 또한 이 결과는`직선의 구성성분이 점이다.'는 전제가 산술적 연속체로서의 실수를 구성하는 작업에 있어 핵심적인 역할을 하였는데 이 전제에 대한 심적 확실성은 무한집합을 사용하는 사고실험을 통해 확보되었을 것임을 보여준다. 이러한 결과에 기초하여 이 연구에서는 `극한의 이론적 토대는 실수이고, 그 실수를 다루기 위해서는 무한집합의 도입이 요구된다.'는 것을 인식하도록 하는 교사교육과 관련해 몇몇 제안을 하였다. 특히, 직선의 구성성분에 관한 사고실험에 기초하여 산술적 연속체로서의 실수를 구성하는 한 가지 방안을 제시함으로써, 이 연구는 연속체의 개념과 관련된 인식론적 장애를 극복하면서 극한값과 무한집합을 심리적으로 연결시키는 교육의 가능성을 열어두었다.
Abstract
This study begins with the awareness of problem that the education of mathematics teachers has failed to link the limit and the infinite set conceptually. Thus, this study analyzes the historical and reciprocal development of the limit and the infinite set, and discusses how to improve the education of these concepts and their relation based on the outcome of this analysis. The results of the study confirm that the infinite set is the historical tool of linking the limit and the real numbers. Also, the result shows that the premise of `the component of the straight line is a point.' had the fundamental role in the construction of the real numbers as an arithmetical continuum and that the moral certainty of this premise would be obtained through a thought experiment using an infinite set. Based on these findings, several proposals have been made regarding the teacher education of awakening someone to the fact that `the theoretical foundation of the limit is the real numbers, and it is required to introduce an infinite set for dealing with the real numbers.' in this study. In particular, by presenting one method of constructing the real numbers as an arithmetical continuum based on a thought experiment about the component of the straight line, this study opens up the possibility of an education that could get the limit values psychologically connected to the infinite set in overcoming the epistemological obstacle related to the continuum concept.
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