다항식과 다항함수에 관한 교수학적 분석
A Study of Didactical Analysis of Polynomials and Polynomial Functions
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초록
다항식과 다항함수는 그 정의와 논의 주제가 전혀 다른 수학적 개념임에도 불구하고 교육과정에서는 혼용되어 사용되고 있으며, 이로 인해 변수 개념에 대한 이해와 이들 식의 교수학적 의의에관한 이해가 충분히 이루어지지 못하고 있다. 이에 본 연구에서는 우선 교수학적 관점에서 중등학교에서 다루고 있는 식을 수치식과 문자식으로 분류하고, 다시 문자식을 일반화된 식과 대수식으로 분류하였다. 그리고 대수식을 다항식, 방정식, 함수식으로 분류하였다. 또한 분류에 따른 각 식의 변수를 정의하였다. 다음으로 다항식과 다항함수의 학문적 고찰을 통하여, 다항식과 다항함수에서의 변수인 ‘부정원’과 ‘변수’의 의미 그리고 논의 주제와 관련 개념에 대해 밝혔다. 즉, 다항식은 구조를 다루기 위한 개념으로 상등과 연산이 기본요소이다. 또한 다항식 관련 개념으로는 인수분해와 나머지 정리, 유리식, 미정계수법, 복소수의도입 등이 있다. 그리고 다항함수는 변화를 조작하기 위한 개념으로 함숫값이 기본요소이며, 관련개념은 증가와 감소, 최대와 최소, 변곡점, 부드러운 곡선과 곡면에 관한 것이다. 마지막으로 관련내용의 교과서 분석을 통하여 교육과정 내용의 정당성을 제고한다. 다항식과 다항함수의 지도에서가장 강조되어야 할 내용은 변수의 개념과 상등이지만 현 교육과정에서 다루는 내용에는 이를 지도할 현상이 명확하지 않아 교과서에서 다항식의 상등을 정의했음에도 불구하고 대입과 수치대입법이 다항식 관련 단원에서 혼용되어 지도되고 있다. 이러한 연구는 수학교사의 교과전문성을 높이고, 교육과정을 비판적 안목으로 분석하는데 도움을 주며, 교과교육의 기초를 제공한다.
Abstract
Although polynomials and polynomial functions are different mathematical concepts, they are indiscriminately used in the national curriculum. Because of this, it is suggested that students do not fully understand the concepts of variables and the didactical meaning of these expressions. In this paper, therefore, we classify expressions which appear in the secondary curriculum into numerical expressions and letter expressions, letter equations for generalized expressions and algebraic expressions, and algebraic expressions into polynomials, equations, and functional expressions. According to the classification, we define variables, and then reveal the meanings of indeterminates and variables in the polynomials and the polynomial functions respectively through theoretical study; and then study their related concepts. Equalities and the related operations are basic concepts in the study of the structure of the expressions. Related concepts to polynomial expressions are factorization, the remainder theorem, the method of undetermined coefficients, the introduction of complex numbers, and so on. On the other hand,polynomials function as concepts which deal with change and function as a basic element. Related concepts include: increasing and decreasing, maximum and minimum, point of inflection, and smooth curves and surfaces. Finally, we enhance the justification of the content in the curriculum through an analysis of the related content of text books. It is hoped that this study will promote the professional development of teachers of mathematics, will be helpful in the critical analysis of the curriculum, and will provide a foundation for Curriculum Instruction.
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