행렬 계수 개념에 대한 학부생들의 이해에 관한 소고
A study on undergraduate students’ understanding of the concept of matrix rank
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초록
행렬 계수(rank)는 선형대수학의 다른 개념과의 상호의존성이 높은 핵심 개념이다. 그러나 이러한 계수의 높은 상호의존성은 많은 학생들이 계수 개념을 이해하는 데 어려움을 유발한다. 이에 본 연구에서는 APOS 이론의 관점에서학부생들의 계수 개념에 대한 학습 과정을 질적으로 분석하여 발생적 분해를 제시하고 계수 학습 과정에서 발생하는오개념 및 오류, 어려움을 확인한다. 발생적 분해 작성 결과, 학생들은 행렬의 계수 개념을 열공간의 차원으로 이해하기보다는 기약 행 사다리꼴의 선행성분의 개수로 이해하는 도구적 이해를 구성함을 확인할 수 있다. 이는 행렬의열공간을 벡터공간으로 표현하는 데 어려움을 겪거나, 열공간의 기저를 구할 때 기약 행 사다리꼴을 이용하는 등의오류에서 구체적으로 드러난다. 행렬 계수 개념의 본질적 이해를 위해서는, 벡터공간 스키마와 기저 스키마의 통합적이해가 선행되어야 함을 확인하였다. 이러한 연구 결과는 기존 계수 개념의 교수·학습 지도의 개선에 대한 교육적시사점을 제시한다.
Abstract
The rank of a matrix is one of the key concepts in linear algebra, closely connected to other fundamental concepts. However, this interdependence leads to major difficulties for undergraduate students. This study qualitatively analyzes undergraduate students’ learning processes from the perspective of APOS theory, proposes a genetic decomposition of the concept of rank, and describes misconceptions, errors, and difficulties regarding the concept. From the genetic decomposition, we observed that students tend to construct an instrumental understanding of rank by identifying it with the number of leading entries in the row reduced echelon form, rather than with the dimension of the column space. Such misconceptions are manifested in students’ difficulties in representing the column space as a vector space, and in their incorrect use of the row reduced echelon form when finding a basis of the column space. Therefore, it implies that students need to integrate the vector space schema and the basis schema to attain an essential understanding of the rank of a matrix. These results also offer suggestions for instruction in linear algebra, particularly regarding the concept of rank.