절댓값 기호를 포함한 일차함수와 그래프의 개념발달에 관한 수학적 모델링 사례연구
The Case Study for the Development of Conception of a Graph and the Formula with the absolute value through the Mathematical Modeling
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현대 사회는 학문이나 직업세계에서 뿐만 아니라 일상생활에서도 다양한 과학기술 정보를 자유롭게 의사소통하는 능력이 필요하며, 수학은 이러한 과학기술 정보를 소통하는데 기초적이고 필수적인 수단이다. 학생들은 수학수업을 통해 다양한 상황을 수학적 언어로 표현하고, 타인의 수학적 언어를 이해하는 능력을 기르며 수학적 언어를 사용하여 토론하는 능력을 기르는 것이 필요하다. 제7차 개정 교육과정(교육과학기술부, 2008)의 교수‧학습목표는 학생이 구체적인 경험에 근거하여 여러 가지 현상을 수학적으로 해석하고 조직하는 활동을 권장하고 있다. OECD가 주관한 1999년과 2003년 학업성취도 국제 비교 평가(PISA)는 ‘수학적 성향’을 학생들이 복잡하고 다양한 현실세계를 수학적으로 이해하고 판단하는 능력으로 정의하고 이의 학습을 강조하고 있다(OECD, 2003). 여기서의 현실세계는 개인이 처해있는 자연적이고 사회적이며 문화적인 상황을 일컬으며 이는 Freudenthal(1983)이 주장하는 물리적이고 사회적이며 정신적 세계의 현상을 조직하는 도구로서 수학적 개념, 구조 그리고 아이디어가 발명되어 왔다는 주장과 연결된다. 이와 같이 현대사회에서 요구되는 일생생활과 수학적 지식 연결을 위한 수학교육은 학생들로 하여금 문맥에서의 성공적인 문제해결 경험으로 수학적 개념, 원리, 법칙을 정확히 이해하고 논리적으로 사고하는 활동을 요구하고 있다(정영옥, 1997). NCTM(1991)은 실생활 문제를 수학적으로 해결하는 능력의 개발과 신장을 위해 수학적으로 모델링할 수 있는 기회부여를 강조하고 있다. 수학적 모델링은 실생활 문제 속에서 필요한 조건을 추출하여 간단한 현실모델을 개발(Swetz, 1989, 19991)하고, 그것을 다시 수학적 요소로 바꾸어 수학적 모델을 개발한 다음 얻어진 수학적 모델에서 해를 도출하고 그것을 다시 실생활에서 적용하는 순환과정(Burghes, 1980; NCTM, 1991)을 뜻한다. 수학적 모델링은 실생활 문제 속에서 형식이나 관계를 발견하고 수학적으로 조직하고 해석하는 활동을 하는 것 뿐 만 아니라 수학적 모델링 과정을 거치면서 학생 스스로 수학적 개념, 원리, 법칙 등을 깨닫고 이해할 수 있게 된다(Swetz, 1989; Doerr & English, 2003; Blum W. et al, 2002). 또한 문제해결전략을 계획하고 실행하며 반성을 통하여 풀이과정을 점검하고 다양하게 활용하는 태도를 기를 수 있다(성호금, 2000). 한편 ‘절댓값’은 주변 환경을 수학적인 눈으로 바라본다면 가장 먼저 찾을 수 있는 수학 내용 중의 하나(장효정, 2010)이고, 학교수학에서 절댓값은 좌표평면상에서 거리를 구하고 실수의 대소 관계를 설명할 때 이용되는 중요 개념이다. 절댓값과 관련한 최근연구에서 장효정(2010)은 학교수학에서의 절댓값에 대한 도입이 그 개념이해보다는 절차적 지식에 치중되어 있음을 지적하고 절댓값과 관련한 문맥에서의 문제해결 경험이 개념의 정확한 이해에 도움이 될 것임을 역설하고 있다. 절댓값 기호가 있는 식의 그래프를 그릴 때 나타나는 오류를 연구한 서희진(2009) 역시 학생들이 그래프를 그릴 때 원리를 생각하지 않은 채 기계적으로 그리려고 하며 함수의 그래프에 대한 기본적인 이해의 부족에 그 원인이 있음을 분석하였다. 절댓값은 정수와 유리수 등 실수의 대소관계와 거리, 각종 식에서의 연산뿐만 아니라 함수 단원과 결합하여 도형의 변환, 부등식의 영역, 그래프 등 여러 단원에서 문제해결의 수단이 되므로 절댓값과 관련한 정의와 절댓값 기호가 있는 식과 그 그래프 등의 정확한 개념발달은 필수적이다. 이에 본 연구는 절댓값 기호가 있는 식과 그래프에 대한 유의미한 학습을 위하여 수학적 모델링 적용을 제안하며 이것이 학생에게 절댓값 기호가 있는 일차식과 그래프에 대한 개념, 원리, 법칙에 대한 수학적 개념발달에 미치는 영향에 대하여 살펴보고자 한다. 이를 위하여 NCTM(1991)에 수록된 자료를 학생들의 현실문맥에 맞도록 수정하여 수학적 모델링 수업에 사용하였으며, 두 명의 학생을 대상으로 문맥문제를 통한 수학적 모델링 수업을 진행하면서 절댓값 기호가 있는 식과 그래프의 개념 발달을 고찰하는 것과 수학적 모델링 수업의 각 단계는 학생들의 개념 발달에 효과적으로 작용할 수 있는가를 모색하는데 그 목적이 있다.
Abstract
The purpose of this study is to detect the possibility of the development of conception of a graph and the formula with the absolute value through context questions, and also to investigate the effectiveness of the each step of the mathematical modeling activities in helping students to have the conception. The research was conducted to analyze the process of development of the mathematical conception by applying the mathematical modeling activities two times to subjects of two academic high school students in the first grade. The results of the study are as follows:Firstly, the subjects were able to comprehend the geometric conception of the absolute value and to make the graph and the formula with the sign of the absolute value by utilizing the condition of the question. Secondly, the researcher set five steps of the intentional mathematical model in order to arouse the effective mathematical notion and each step performed a role in guiding the subjects through the mathematical thinking process in consecutive order; consequently, it was efficacious in developing the conception.
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