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중학교 증명 수업에서 학생들의 연역적 추론 분석: 의사소통(commognition) 관점을 중심으로

An Analysis of middle school students’ deductive reasoning in proof lessons: Focused on commognition perspective

신보미|강수영
한국교육과정평가원 (Korea Institute for Curriculum and Evaluation)|2022.02|교육과정평가연구 (The Journal of Curriculum and Evaluation)|제25권 제1호|pp. 143-172

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정의Definition공리수학적 정당화증명 지도연역적 추론Mathematical justification의사소통 관점Deductive ReasoningCommognition perspectiveProof teachingAxiom
주제분류교육학

초록

본 연구는 중학교 증명 수업에서 연역적 추론을 사고의 과정으로 경험하게 하는 교수-학습 방안을개발 및 적용하여 학생들이 참여하는 증명 수업의 담론을 Sfard의 의사소통(commognition) 관점에비추어 분석하고, 이러한 담론 분석을 통해 학생들의 사고 과정에서 드러나는 연역적 추론의 특징을기술하고자 하였다. 이에 본 연구는 관련 선행연구를 토대로 교수-학습 자료를 개발하였으며 이를 적용한 수업 상황의 담론을 기술하기 위한 분석 틀을 구체화하였다. 개발한 교수-학습 자료를 적용한 8차시 수업 상황의 담론을 분석 틀에 비추어 살펴본 바, 연역적 추론을 통해 수학적 정당화를 학습하는 국면에서는 경험적 정당화와 연역적 정당화 사이의 의사소통 갈등이 공리적·형식적 정당화의 전제를 확인하는 담론과 공리적·형식적 정당화로의 수준 상승이 일어나는 담론으로 이어짐을 확인할 수 있었다. 또한 연역적 추론을 통해 수학적 정당화를 실행하는 국면에서는 평행사변형 모양의 활동 타일이 지닌 성질 사이의 관계를 파악하여 연결망으로 구조화하는 담론과, 활동 타일의 성질을 연역적으로 조직하여 그 정의를 만들어 내는 담론의 양상이 드러났으며, 이 과정에서 공리적·형식적 정당화의 메타 규칙이 부분적으로 작용하는 것을 확인하였다. 이상과 같은 결과 분석 과정에서 본 연구는, 중학교에서 수학적 정당화 과정을 통한 연역적 추론 지도의 가능성, 연역적 추론을 전개하는 도구로서 시각적 매개체의 역할 및 ‘증명’과 ‘정의’라는 용어의 가치 등에 대해 의미 있는 시사를 얻을 수 있었다.

Abstract

This study developed a teaching-learning method by focusing on the deductive reasoning and analyzed the characteristics of mathematical discourse in the light of the framework descriptors of the level of mathematical justification based on Sfard’s commognition perspective, in order to provide the implication for proof teaching by encouraging students to experience deductive reasoning as a thinking process. To achieve the aim, 8 lessons were implemented using the teaching-learning method developed by this study and the students’ features related to deductive reasoning were explored based on the descriptors. As a result, at the lessons about the mathematical justification there was a commognitive conflict between students using empirical justification and deductive justification, in the process of checking premises for deductive justification, students reached axiomatic-formal justification with partial and procedural characteristics. At the lessons of implementing mathematical justification for the properties of parallelogram, the students made a chaining relationships by eliciting conclusions from the premises, connected several steps of justification, and defined by the deductive organization of properties. It can be said that they used the meta-rule of axiomaticformal justification. The result suggests that deductive reasoning could be taught to middle school students by taking appropriate pedagogical strategies. In the process of justifying, students realized the existence of axiom and its meaning as a promise, understood the chaining relationships derived from axioms. In addition, in the process of justifying visual mediators were used an important tool that drove deductive reasoning and the terms ‘proof’ and ‘definition’ were informally emerged even though have not been taught at the lessons.

참고문헌 (55)

  1. 강미광, "유클리드 기하학에서 삼각형의 합동조건의 도입 비교", 수학교육, 49(1), pp.53~65 (2010), 한국수학교육학회
  2. 강정기, "증명에서 연역 체계 이해에 관한 연구", 수학교육, 52(4), pp.549~565 (2013), 한국수학교육학회
  3. "교육부", 2015
  4. 구나영, "확률 문제를 해결하는 수학 영재 수업에서의 담론에 관한 연구", 석사, 수학교육과, pp.2014
  5. 권석일, "Birkhoff공리계의 교수학적 분석", 교육과정평가연구, 12(3), pp.275~293 (2009), 한국교육과정평가원
  6. 김미주, "스토리텔링을 활용한 수학 수업에서의 담화 분석", 석사, 수학교육과, pp.2014
  7. 김선희, "IB DP 수학 내용 및 교수・학습 특징에 근거한 고등학교 수학교육의 방향", 수학교육학연구, 30(2), pp.329~351 (2020), 대한수학교육학회[DOI]
  8. 김선희, "수학과 교육과정에 반영된 핵심역량의 국제적 동향 탐색", 수학교육, 54(1), pp.65~81 (2015), 한국수학교육학회
  9. 김원, "담론적 관점(discursive approach)에서 중1 수학 교과서의 그래프 정의 분석", 수학교육 논문집, 32(3), pp.407~433 (2018), 한국수학교육학회[DOI]
  10. 김은정, "귀납적 추론과 연역적 추론 중심의 교수방법이 유아의 수학능력, 수학적 성향과 창의성에 미치는 영향", 유아교육학논집, 22(6), pp.169~195 (2018), 한국영유아교원교육학회[DOI]
  11. 김정하, "초등학생의 수학적 정당화에 관한 연구", 박사, 수학교육학, pp.2010
  12. 김흥기, "중학교 수학에서 기하 내용 취급에 관한 연구", 수학교육학연구, 14(1), pp.111~127 (2004), 대한수학교육학회
  13. 노정원, "기호적 중재를 통한 사각형의 성질 학습 사례 연구 - 성질 사이의 관계에 관한 추론을 중심으로", 학교수학, 21(1), pp.197~214 (2019), 대한수학교육학회[DOI]
  14. 류성림, "수학 교육에서 ‘증명의 의의’에 관한 연구", 수학교육, 37(1), pp.73~85 (1998)
  15. 박은조, "수학 교사들의 증명에 대한 인식", 한국학교수학회논문집, 8(1), pp.101~116 (2005), 한국학교수학회
  16. 변규미, "증명 문제해결 교실 담화에서 교사 발화 및 사회 수학적 규범 분석", 박사, pp.2019
  17. 오세현, "고등학교 명제 단원에서 반례 활용에 관한 교수·학습 자료 개발 연구", 수학교육 논문집, 30(3), pp.393~418 (2016), 한국수학교육학회
  18. 오택근, "벡터 수업의 담론 창의성 분석", 박사, pp.2014
  19. 오택근, "수학적 토론에서 의사소통적 갈등과 인지 갈등의 관계", 수학교육학연구, 24(2), pp.125~143 (2014), 대한수학교육학회
  20. 이규희, ""평행사변형은 사다리꼴이다."에서 '이다'에 대한 고찰", 학교수학, 18(3), pp.527~539 (2016), 대한수학교육학회
  21. 이선영, "국어ㆍ수학 통합 교과 원리로서 ‘정당화’에 대한 탐구 - 툴민의 논증 구조에 따른 분석을 중심으로", 교육과정평가연구, 16(3), pp.1~25 (2013), 한국교육과정평가원
  22. 이지현, "중학교 기하에서의 공리와 증명의 취급에 대한 분석", 수학교육학연구, 21(2), pp.135~148 (2011), 대한수학교육학회
  23. 이지현, "정의 없이 정의 가르치기: 예비교사는 어떻게 자신이 배웠던 방식과 다르게 가르칠 수 있는가?", 수학교육학연구, 24(3), pp.311~331 (2014), 대한수학교육학회
  24. 이창현, "반힐레 이론과 GSP를 활용한 중학교 기하영역에 관한 연구 - 8-나 단계의 사각형의 성질을 중심으로 -", 수학교육, 49(1), pp.85~109 (2010), 한국수학교육학회
  25. 이환철, "중학교 수학 교과서 분석을 통한 정당화 방안 탐색", 한국학교수학회논문집, 14(3), pp.329~341 (2011), 한국학교수학회
  26. 조영미, "교수학에 제시된 정의에 관한 연구", 박사, pp.2001
  27. 조완영, "탐구형 기하 소프트웨어를 활용한 중학교 2학년 학생의 증명활동에 관한 사례연구", 박사, 수학교육, pp.2000
  28. 조완영, "중학교 1학년 직관기하영역에서의 증명요소분석", 수학교육논문집, 15, pp.141~146 (2003)
  29. 조진우, "수학교실담론의 삼각 분석", 박사, pp.2017
  30. 홍영석, "중학교 수학 영재아의 수학적 정당화에 대한 인식과 특성에 관한 연구", 한국학교수학회논문집, 24(3), pp.261~282 (2021), 한국학교수학회[DOI]
  31. Almeida, D., "Justifying and proving in the mathematics classroom", Philosophy of Mathematics Education Journal, 9 (1996)
  32. Birkhoff, G. D., "The teaching of geometry", pp.86~95 (1930), National Council of Teachers of Mathematics
  33. Boaler, J., "Mathematical mindsets: Unleashing students’ potential through creative math, inspiring messages, and innovative teaching" (2016), Jossey-Bass
  34. Brousseau, G., "Theory of didactical situations in mathematics: Didactique des mathématiques 1970–1990" (1997), Kluwer Academic Publishers
  35. Durand-Guerrier, V., "Proof and proving in mathematics education: The 19th ICMI Study", pp.349~367 (2012), Springer
  36. Fawcett, H. P., "증명의 본질" (2006), 경문사
  37. Freudenthal, H., "Geometry between the devil and the deep sea", Educational Studies in Mathematics, 3(3&4), pp.413~435 (1971)
  38. Freudenthal, H., "Mathematics as an educational task" (1973), D. Reidel Publishing Company
  39. Gernes, D., "The rules of the game", Mathematics Teacher, 92(5), pp.424~429 (1999)
  40. Gravemeijer, K., "Developing realistic mathematics education" (1994), Freudenthal Institute
  41. Harel, G., "Second handbook of research on mathematics teaching and learning", pp.805~842 (2007), Information Age Publishing
  42. Jacobs, V. R., "Professional noticing of children’s mathematical thinking", Journal for Research in Mathematics Education, 41(2), pp.169~202 (2010)
  43. Johnson-Laird, P. N., "Encyclopedia of psychology", pp.75~79 (2000), American Psychological Association
  44. Kim, D. J., "How does language impact the learning of mathematics? Comparison of English and Korean speaking university students’ discourse on infinity", International Journal of Educational Research, 51-52, pp.86~108 (2012)
  45. Linchevsky, L., "To be or not to be minimal? Student teachers views about definitions in geometry", Proceedings of the Sixteenth International Conference for the Psychology of Mathematics Education, 2, pp.48~55 (1992), University of New Hampshire
  46. McCrone, S. M. S., "Teaching and learning proof across the grades: A K-16 perspective", pp.204~221 (2009), Routledge
  47. Miyazaki, M., "Students’ understanding of the structure of deductive proof", Educational Studies in Mathematics, 94(2), pp.223~239 (2017)
  48. Sfard, A., "On two metaphors for learning and the dangers of choosing just one", Educational Researcher, 27(2), pp.4~13 (1998)
  49. Sfard, A., "There is more to discourse than meets the ears: Looking at thinking as communicating to learn more about mathematical learning", Educational Studies in Mathematics, 46(1-3), pp.13~57 (2001)
  50. Sfard, A., "When the rules of discourse change, but nobody tells you: Making sense of mathematics learning from commognitive standpoint", The Journal of The Learning Science, 16(4), pp.567~615 (2007)
  51. Sfard, A., "Thinking as communicating: Human development, the growth of discourse, and mathematizing" (2008), Cambridge University Press
  52. 5 practices for orchestrating productive mathematics discussions, "Smith, M. S.", NCTM, ~ (2011)
  53. 방정숙, "효과적인 수학적 논의를 위해 교사가 알아야 할 5가지 관행" (2013), 경문사
  54. Stylianides, A. J., "The notion of proof in the context of elementary school mathematics", Educational Studies in Mathematics, 65, pp.1~20 (2007)
  55. Wang, S., "The van Hiele theory through the discursive lens: Prospective teachers’ geometric discourse", doctor, pp.2011

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