코사인 정리를 이용한 삼각함수에 관련된 등식과 부등식의 연구
A Study on Equalities and Inequalities Related with Trigonometric Function Using Cosine Theorem
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초록
이 연구는 고등학교에서의 창의적 수학 탐구를 통해 얻어진 결과이며, 우리는 코사인 정리를 이용하여 삼각함수에 관련된 다양한 등식들을 증명하는 새로운 방법을 제시하였다. 우리는 코사인 정리가 형태적으로, 대수적으로, 기하학적으로 다양한 의미를 가진다는 것에 주목하였다. 코사인 정리를 이용하면, 삼각형의 각의 사인 또는 코사인을 삼각형의 변들의 대수식으로 나타낼 수 있었다. 삼각형의 각과 변으로 표현된 삼각함수의 등식들을 코사인 정리를 이용하여 변들의 길이에 대한 대수식으로 바꿀 수 있었고, 등식의 새로운 증명을 찾을 수 있었다. 이 연구에서는 코사인 정리 이외에 삼각형의 넓이 공식, 삼각함수의 정의 등을 사용하여 제일 코사인 정리, 삼각함수 덧셈 정리, 사인 정리, 반각 공식, 배각 공식을 새롭게 증명하였다. 그리고 이때 사용한 방법을 이용하여 삼각함수에 관련된 새로운 부등식들을 만들고 증명하였다.
Abstract
This article is a result of creative mathematical problem solving in a high school. We investigate trigonometric equalities which are in the high school mathematics textbooks. The proof methods of these equalities suggested in the textbooks are so diverse that it is difficult to find out generalized approach to the equalities. We make attempt to find a generalized approach. We choose cosine theorem and try to prove the equalities using the cosine theorem. We successfully prove the equalities, and find out some inequalities using the method which is used for proving trigonometric equalities.
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